GJ Woeginger wrote:

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Aus a = 1 mod 2 (ungerade) ergibt sich 3a-2 = 1 mod 6 = p^2
(Quadratzahl), also p = +-1 mod 6. Hieraus folgt, daß a die
allgemeine Darstellung

a = 12k^2 +- 4k + 1

mit k ganzzahlig, k >= 0 besitzt.

Zunächst wird für die kleinstmöglichen Werte von a eine Fall-
unterscheidung vorgenommen:

a=1:
Wenn b+c und auch a+b+c Quadratzahlen sein sollen, folgt daraus
zwingend b+c=0. Da b und c 2 verschiedene natürliche Zahlen sind,
ergibt sich ein Widerspruch. Für die weiteren Fälle sind b und c
beide >0 und b+c=0 wird nicht mehr betrachtet.

a=9:
Wenn b+c und auch a+b+c Quadratzahlen sein sollen, folgt daraus
b+c=16. Damit a+b Quadratzahl ist, muß b=7 sein. a+c=18 ist aber
keine Quadratzahl.

a=17:
Wenn b+c und auch a+b+c Quadratzahlen sein sollen, folgt daraus
b+c=64. Für b gäbe es Möglichkeiten b={8,19,32,47}, damit a+b
auch eine Qudratzahl wird. c nimmt dann die Werte c={56,45,32,17}
an. Nur für c=32 ist auch a+c eine Quadratzahl. In diesem Fall
ist allerdings b=c.

Der allgemeine Fall folgt jetzt:

Es läßt sich stets eine gültige Lösung wie folgt konstruieren:
a+b = 3a-2 (Quadratzahl) => b=2a-2
a+c = ((a-3)/2)^2 => c=(a-1)(a-9)/4 => c>b für a>17
b+c = ((a-1)/2)^2
a+b+c = ((a+1)/2)^2

Die gesuchte Lösungsmenge umfaßt also alle Zahlen a der Form
a = 12k^2 +- 4k + 1 und a > 17.

Gruß Ralf