* Volker Birk wrote:
> Lutz Donnerhacke wrote:
>> Ja, eben. Und die natürlichen Zahlen liegen nicht in der Menge der reellen
>> Zahlen.
>
> Definitionen, die das zum Ziel haben, halte ich für unbrauchbar.
Es gibt zwei Möglichkeiten, die Zahlen einzuführen:
a) konstruktiv aus der Mengenlehre heraus
b) axiomatisch pro Zahlenbereich
Ich bevorzuge den konstruktiven Ansatz also die Vermeidung von unnötigen
Axiomen.
> Man sollte dann andere Begriffe als "natürliche Zahlen", "ganze Zahlen",
> "rationale Zahlen", "geometrische Zahlen", "transzendente Zahlen"
> verwenden, weil diese in der Zahlentheorie bereits sinnvoll definiert
> sind.
Die Definitionen, die ich angab, sind die konstruktiven Definitionen der
Zahlentheorie. Was möchstest Du also ausdrücken?
> Insofern ist 2 doch hoffentlich die Mächtigkeit von {{}, {{}}} und nicht
> die Klasse aller Mengen mit derselben Mächtigkeit.
Wo ist der Unterschied? Definiert wird die Relation "Gleichmächtigkeit", die
Eigenschaft "Unendlichkeit", die Eigenschaft "Endlichkeit", die "natürlichen
Zahlen" und der Begriff "Mächtigkeit".
Def: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, genau dann wenn eine
Bijektion zwischen A und B existiert.
Def: Eine Menge heißt unendlich, genau dann wenn sie zu einer echten
Teilmenge ihrer selbst gleichmächtig ist.
Def: Eine Menge heißt endlich, genau dann wenn sie nicht unendlich ist.
Satz: Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis: Beweis der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität jeweils trivial.
Bemerkung: Nun Anwendung des Hauptsatzes der Mengenlehre über die Entstehung
von Klassen durch die Existenz einer Äquivalenzrelation.
Def: Die Äquivalenzklassen gleichmächtiger endlicher Mengen nennt man
natürliche Zahlen. N ist die Menge der natürlichen Zahlen.
Bemerkung: Ein beliebiges Element der Äquivalenzklasse dient als Repräsentant.
Def: Der Repräsentant einer natürlichen Zahl heißt Mächtigkeit jeder der
Mengen in der Äquivalenzklasse.
Meine Güte, das ist Schulstoff erstes Halbjahr Klasse 9. Da muß ich nicht
mal ins Lehrbuch schauen. Das hatte ich im Herbst 1985 in der Schule und im
Winter 1990 in der Vordiplomprüfung.
